Convex poligoni. Ufafanuzi wa poligoni mbonyeo. diagonals ya poligoni mbonyeo

maumbo haya kijiometri ni karibu nasi. Convex poligoni ni ya asili, kama vile asali au bandia (mtu alifanya). Takwimu hizi hutumika katika kuzalisha aina mbalimbali za mipako katika sanaa, usanifu, mapambo, nk poligoni Convex na mali kwamba hoja zao uongo upande mmoja wa mstari sawa kwamba unapita katika jozi ya vipeo karibu ya takwimu za kijiometri. Kuna maelezo mengine. Ni wito poligoni mbonyeo, ambayo ni mpangilio wa moja na nusu ya ndege kuhusiana na line moja kwa moja yoyote zenye moja ya mbavu zake.

poligoni mbonyeo

Katika mfululizo wa jiometri msingi ni daima kutibiwa poligoni rahisi sana. Ili kuelewa tabia za maumbo ya kijiometri unahitaji kujua hali zao. Kuanza kuelewa kuwa imefungwa ni mstari yoyote ambaye ncha ni sawa. Na takwimu lililoundwa na hilo, unaweza kuwa na aina ya mazungumzo. Poligoni inaitwa rahisi kufungwa polyline ambao karibu vitengo si ziko juu mstari mmoja moja kwa moja. uhusiano wake na nodes ni, kwa mtiririko huo, pande na vilele vya takwimu za kijiometri. polyline rahisi lazima intersect yenyewe.

vipeo ya poligoni huitwa majirani, katika kesi wao ni mwisho wa moja ya mbavu zake. takwimu geometric, ambayo ina n-th idadi ya vipeo, na hivyo n-th idadi ya vyama kuitwa n-Gon. Yenyewe kuvunjwa line ni mpaka au contour ya takwimu geometric. Polygonal ndege ama gorofa poligoni kuitwa sehemu ya mwisho ya ndege yoyote, mdogo wao. Karibu pande ya takwimu geometric kuitwa makundi polyline inayotoka kipeo hicho. Hawawezi kuwa majirani kama yanatokana na vipeo tofauti ya poligoni.

ufafanuzi wa pili wa poligoni mbonyeo

Katika jiometri msingi, kuna kadhaa sawa katika ufafanuzi maana, kuonyesha kile kinachoitwa poligoni mbonyeo. Aidha, taarifa hizi zote ni sawa kweli. poligoni mbonyeo ni moja ambayo ina:

• kila sehemu inayounganisha yoyote pointi mbili ndani yake, liko kabisa katika yake;

• humo uongo diagonals wake wote;

• yoyote angle ya mambo ya ndani si zaidi ya 180 °.

Poligoni mara zote hugawanya ndege katika sehemu mbili. Mmoja wao - mdogo (inaweza kuwa iliyoambatanishwa katika mduara), na wengine - isiyo na kikomo. kwanza inaitwa mkoa ndani, na ya pili - eneo la nje ya takwimu geometric. Hii ni makutano ya poligoni (kwa njia nyingine - sehemu jumla) kadhaa nusu ndege. Hivyo, kila sehemu kuwa mwisho katika maeneo ambayo ni ya poligoni kabisa ni yeye.

Aina ya poligoni mbonyeo

Ufafanuzi mbonyeo poligoni haina zinaonyesha kuwa kuna aina nyingi za kwao. Na kila mmoja wao ana vigezo fulani. Hivyo, poligoni mbonyeo, ambayo angle ya ndani ya 180 °, inajulikana kidogo mbonyeo. mbonyeo geometric takwimu ambayo ina peaks tatu, inaitwa pembetatu, minne - pembenne, tano - Pentagon, nk Kila moja ya mbonyeo n-gons hukutana mahitaji yafuatayo muhimu: .. N lazima kuwa sawa na au zaidi kuliko 3. Kila moja ya pembetatu ni mbonyeo. geometric takwimu za aina hii ambao vipeo zote ziko kwenye mzunguko, aitwaye mzunguko andikwa. Ilivyoelezwa mbonyeo poligoni inaitwa ikiwa pande zake zote kwenye mduara kugusa yake. poligoni mbili zinaitwa sawa tu katika kesi wakati wa kutumia gaga inaweza kuwa pamoja. Flat poligoni kuitwa polygonal ndege (ndege sehemu) kwamba huu mfupi kijiometri takwimu.

Mara kwa mara poligoni mbonyeo

pembe nyingi aitwaye maumbo geometric na pembe sawa na pande zote. Ndani yao kuna uhakika 0, ambayo ni umbali huo kutoka kila moja ya vipeo wake. Hiyo inaitwa katikati ya takwimu za kijiometri. Lines kuunganisha katikati na vipeo ya takwimu geometric kuitwa apothem, na wale zinazounganisha uhakika 0 na vyama - radii.

Sahihi mstatili - mraba. Pembetatu sawa inaitwa equilateral. Kwa maumbo kama kuna utawala yafuatayo: kila mbonyeo poligoni angle ni 180 ° * (n-2) / n,

ambapo n - idadi ya vipeo ya mbonyeo geometric takwimu.

eneo la poligoni yoyote ya kawaida imedhamiria kwa formula:

S = p * h,

ambapo p ni sawa na jumla ya nusu ya pande zote za poligoni, na h ni urefu apothem.

Mali mbonyeo poligoni

Convex poligoni na mali fulani. Hivyo, sehemu inayounganisha yoyote pointi mbili ya takwimu geometric, lazima iko ndani yake. ushahidi:

Tuseme kwamba P - mbonyeo poligoni. Kuchukua pointi mbili holela, kwa mfano, A na B, ambayo ni mali ya P. Kwa tafsiri ya sasa ya poligoni mbonyeo, pointi hizi ziko katika upande mmoja wa mstari sawa ambayo ina upande wowote R. hiyo, AB pia ina mali na ni zilizomo katika R. A poligoni mbonyeo daima inaweza kugawanywa katika pembetatu kadhaa kabisa diagonals yote, ambayo uliofanyika moja ya vipeo wake.

Angles mbonyeo maumbo geometric

pembe ya poligoni mbonyeo - ni pembe ambayo iliundwa na vyama. pembe Ndani kwenye eneo ndani ya takwimu geometric. angle kwamba ni sumu kwa pande yake ambayo hukutana katika kipeo, iitwayo angle ya poligoni mbonyeo. Pembe ya karibu kwa pembe ya ndani ya takwimu za kijiometri, aitwaye nje. Kila kona ya poligoni mbonyeo, mpangilio ndani yake, ni:

180 ° - x

ambapo x - thamani nje kona. Hii formula rahisi ni zinazotumika kwa aina yoyote ya maumbo ya kijiometri kama hizo.

Kwa ujumla, kwa pembe nje zipo zifuatazo kanuni: kila mbonyeo poligoni angle sawa na tofauti kati ya 180 ° na thamani ya pembe ndani. Ni inaweza kuwa na thamani kuanzia -180 ° hadi 180 °. Kwa hiyo, wakati angle ndani ni 120 °, muonekano itakuwa na thamani ya 60 °.

Jumla ya pembe ya poligoni mbonyeo

Jumla ya pembe ya ndani ya poligoni mbonyeo ni imara na formula:

180 ° * (n-2),

ambapo n - idadi ya vipeo ya n-Gon.

Jumla ya pembe ya poligoni mbonyeo ni mahesabu rahisi kabisa. Fikiria yoyote kama geometric sura. Kuamua kiasi cha pembe katika poligoni mbonyeo unahitaji kuunganisha moja ya vipeo wake wa vipeo nyingine. Kutokana na hatua hii zamu (n-2) ya pembetatu. Inajulikana kuwa jumla ya pembe ya pembetatu yoyote ni daima 180 °. Kwa sababu idadi yao katika poligoni yoyote ni sawa na (n-2), jumla ya pembe ya mambo ya ndani ya takwimu sawa 180 ° x (n-2).

Kiasi mbonyeo poligoni pembe, yaani, yoyote mbili karibu ndani na nje ya pembe kwao, katika hii mbonyeo geometric takwimu siku zote kuwa sawa na 180 °. Kwa msingi huu, tunaweza kuamua kiasi cha ncha zake zote:

180 x n.

Jumla ya pembe ya mambo ya ndani ni 180 ° * (n-2). Kwa hiyo, jumla ya pembe ya nje ya takwimu yaliyowekwa na formula:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Jumla ya pembe ya nje ya poligoni yoyote mbonyeo daima kuwa sawa na 360 ° (bila kujali idadi ya pande yake).

Nje ya kona ya poligoni mbonyeo ujumla inawakilishwa na tofauti kati ya ° 180 na thamani ya pembe ndani.

Mali nyingine ya poligoni mbonyeo

Mbali na hilo mali ya msingi ya data takwimu geometric, pia kuwa na mengine, ambayo hutokea wakati utunzaji yao. Hivyo, yeyote ya poligoni vinaweza kugawanywa kuwa nyingi mbonyeo n-gons. Ili kufanya hivyo, kuendelea kwa kila moja ya pande yake na kukata sura geometric kwa misingi hii moja kwa moja. Gawanya poligoni yoyote katika sehemu kadhaa mbonyeo inawezekana na hivyo kuwa juu ya kila moja ya vipande sambamba na wote wa vipeo wake. Kutokana na takwimu za kijiometri inaweza kuwa rahisi sana kufanya pembetatu kwa njia ya diagonals wote kutoka kipeo moja. Hivyo, poligoni yoyote, hatimaye, inaweza kugawanywa katika idadi fulani ya pembetatu, ambayo ni muhimu sana katika kutatua kazi mbalimbali kuhusiana na maumbo kama kijiometri.

mzunguko wa poligoni mbonyeo

makundi ya polyline, poligoni kinachoitwa vyama, mara nyingi alionyesha barua ifuatayo: ab, bc, CD, de, ea. Upande huu wa takwimu za kijiometri na vipeo, b, c, d, e. Jumla ya urefu wa pande za poligoni mbonyeo inaitwa mzunguko wake.

mzingo wa poligoni

Convex poligoni inaweza kuingizwa na maelezo. Circle tangent kwa pande zote za takwimu geometric, aitwaye andikwa ndani yake. poligoni Hii inaitwa ilivyoelezwa. kituo cha mduara ambayo ni andikwa katika poligoni ni hatua ya makutano ya bisectors pembe ndani ya kupewa sura ya kijiometri. eneo la poligoni ni sawa na:

S = p r *,

ambapo r - Radius ya mduara andikwa, na p - semiperimeter poligoni hii.

mduara ulio poligoni vipeo, iitwayo ilivyoelezwa karibu yake. Zaidi ya hayo, hii mbonyeo geometric takwimu iitwayo andikwa. kituo cha mduara, ambayo ni ilivyoelezwa kuhusu kama poligoni ni kile kinachoitwa makutano uhakika midperpendiculars pande zote.

Ulalo mbonyeo maumbo geometric

diagonals ya mbonyeo poligoni - sehemu inayounganisha si jirani vipeo. Kila mmoja wao ni ndani ya takwimu hii geometric. idadi ya diagonals ya n-Gon ni kuweka kulingana na formula:

N = n (n - 3) / 2.

idadi ya diagonals ya poligoni mbonyeo ina jukumu muhimu katika jiometri msingi. idadi ya pembetatu (K), ambayo inaweza kuvunja kila poligoni mbonyeo, mahesabu kwa formula zifuatazo:

K = n - 2.

idadi ya diagonals ya poligoni mbonyeo daima hutegemea na idadi ya vipeo.

Kuhesabu ya poligoni mbonyeo

Wakati mwingine, kutatua jiometri kazi lazima kuvunja poligoni mbonyeo katika pembetatu kadhaa na diagonals zisizo intersecting. Tatizo hili yanaweza kutatuliwa kwa kuondoa formula fulani.

Kufafanua tatizo: wito haki ya aina ya kuhesabu ya mbonyeo n-Gon katika pembetatu kadhaa na diagonals vinavyokutana tu vipeo ya takwimu geometric.

Solution: Tuseme P1, P2, P3, ..., PN - juu ya n-Gon. Idadi Xn - Idadi ya partitions yake. Fikiria kwa makini na kusababisha mshazari geometric takwimu Pi PN. Katika yoyote ya partitions ya mara kwa mara P1 Pn ni mali ya fulani pembetatu P1 Pi Pn, ambapo 1

Hebu i = 2 ni kundi la partitions mara kwa mara, mara zote zenye mshazari P2 PN. idadi ya partitions kwamba ni pamoja na katika hilo, sawa na idadi ya partitions (n-1) -gon P2 P3 P4 ... PN. Kwa maneno mengine, ni sawa na Xn-1.

Kama i = 3, kisha partitions nyingine kundi daima vyenye mshazari P3 P1 na P3 PN. idadi ya partitions sahihi kwamba ni zilizomo katika kundi, itakuwa sanjari na idadi ya partitions (n-2) -gon P3, P4 ... PN. Kwa maneno mengine, itakuwa ni Xn-2.

Acha i = 4, kisha pembetatu kati ya kizigeu sahihi ni wajibu wa kudhibiti pembetatu P1 Pn P4, ambayo paka jumuia P1 P2 P3 P4, (n-3) -gon P5 P4 ... PN. idadi ya partitions sahihi pembenne kama ni sawa X4, na idadi ya partitions (n-3) -gon sawa Xn-3. Kulingana na hayo, tunaweza kusema kwamba idadi kamili ya partitions ya mara kwa mara kwamba ni zilizomo katika kundi hili ni sawa na Xn-3 X4. Makundi mengine, ambapo i = 4, 5, 6, 7 ... itakuwa na 4 Xn-X5, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 partitions kwa mara.

Hebu i = n-2, idadi ya partitions sahihi katika kundi fulani itakuwa sanjari na idadi ya partitions katika kundi, ambapo i = 2 (kwa maneno mengine, ni sawa na Xn-1).

Kwa kuwa X1 = X2 = 0, X3 = 1 na X4 = 2, ..., idadi ya partitions ya poligoni mbonyeo ni:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

mfano:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * X5 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

idadi ya partitions sahihi hupishana ndani ya moja mshazari

Wakati kuangalia kesi ya mtu binafsi, inaweza kuwa kudhani kuwa idadi ya diagonals ya mbonyeo n-Gon ni sawa na bidhaa ya sehemu zote za mfano huu chati (n-3).

ushahidi wa dhana hii: tuseme kwamba P1n = Xn * (n-3), kisha yoyote n-Gon inaweza kugawanywa katika (n-2) ni pembetatu. Katika hali hii mmoja wao inaweza kuwa sifa (n-3) -chetyrehugolnik. Wakati huo huo, kila jumuia ni diagonal. Kwa kuwa hii mbonyeo geometric takwimu diagonals mbili zinaweza kufanyika, ambayo ina maana kwamba katika chochote (n-3) -chetyrehugolnikah wanaweza kufanya ziada mshazari (n-3). Kwa msingi huu, tunaweza kuhitimisha kwamba yoyote kuhesabu sahihi ina nafasi ya (n-3) -diagonali mkutano mahitaji ya kazi hii.

Eneo mbonyeo poligoni

Mara nyingi, katika kutatua matatizo mbalimbali ya jiometri msingi kuna haja ya kuamua eneo la poligoni mbonyeo. Kudhani kuwa (Xi. Yi), i = 1,2,3 ... n inawakilisha mlolongo wa viwianishi vya jirani vipeo vyote vya poligoni, kutokuwa na ubinafsi makutano. Katika hali hii, eneo lake ni mahesabu ya formula zifuatazo:

_{S = ½ (Σ (X i} + X i + ₁₎ (Y _{i +} Y _i + _1)),

ambayo (X _1, Y _{1) = (X n +1, Y} n + _1).