Nadharia ya uwezekano. Uwezekano wa tukio hilo, mara kwa mara tukio (uwezekano nadharia). Huru na haziendani na maendeleo katika nadharia ya uwezekano

Hakuna uwezekano kwamba watu wengi wanadhani inawezekana kuhesabu matukio, ambayo kwa kiasi fulani ajali. Kuweka kwa maneno rahisi, je, ni kweli kujua ni upande wa mchemraba katika kete kuanguka wakati mwingine. Ilikuwa swali hili kuuliza wanasayansi wawili wakubwa, kuweka msingi kwa ajili ya sayansi hii, nadharia ya uwezekano, uwezekano wa tukio ambapo alisoma sana kutosha.

kizazi

Kama kujaribu kufafanua dhana kama vile nadharia ya uwezekano, sisi kupata zifuatazo: hii ni moja ya matawi ya hisabati kwamba tafiti uthabiti wa matukio maalum. Ni wazi kwamba dhana hii kwa kweli haina yatangaza kiini, hivyo unahitaji kufikiria ni kwa undani zaidi.

Ningependa kuanza na waasisi wa nadharia. Kama mara ilivyoelezwa hapo juu, kulikuwa na mbili, ambayo Per ferma na Blez Paskal. Walikuwa wa kwanza alijaribu kutumia formula na mahesabu hisabati kufanya mahesabu ya matokeo ya tukio hilo. Kwa ujumla, mafundisho ya sayansi hii ni hata katika Enzi za Kati. Wakati wasomi mbalimbali na wanasayansi walijaribu kuchambua casino michezo kama vile mazungumzo, craps, na kadhalika, na hivyo kuanzisha muundo, na asilimia hasara ya idadi. msingi pia aliweka katika karne ya kumi na saba ni wasomi aforementioned.

Awali, kazi yao haikuweza kuhusishwa na mafanikio makubwa katika fani hii, baada ya yote, walichokifanya, walikuwa tu ukweli upimaji na majaribio walikuwa wazi bila kutumia fomula. Baada ya muda, akageuka ili kufikia matokeo kubwa, ambayo ilionekana kama matokeo ya uchunguzi wa kutupwa mifupa. Ni chombo hii imesaidia kuleta kwanza tofauti formula.

wafuasi

Bila kutaja mtu kama vile Christiaan Huygens, katika mchakato wa kusoma somo chenye jina la "nadharia ya uwezekano" (uwezekano wa tukio inaonyesha ni katika sayansi hii). Mtu huyu yuko kuvutia sana. Yeye, pamoja na wanasayansi iliyotolewa hapo juu walijaribu kwa njia ya kanuni za hisabati kwa kuthibitisha muundo wa matukio maalum. Ni vyema kutambua kwamba hakuwa kushiriki kwa Pascal na Fermat, ambayo ni kazi zake zote haina kuingiliana na akili hizo. Huygens inayotokana dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano.

Ukweli kuvutia ni kwamba kazi yake alikuja muda mrefu kabla ya matokeo ya kazi za waanzilishi, kwa kuwa halisi, miaka ishirini iliyopita. Kuna tu miongoni mwa dhana zilizoonekana ni:

• kama dhana ya nafasi ya uwezekano maadili;
• matarajio ya kesi za kipekee,
• theorems ya kujumlisha na kuzidisha ya probabilities.

Pia, mtu hawezi kusahau Yakoba Bernulli, ambaye pia alichangia katika utafiti wa tatizo. Kwa njia ya wao wenyewe, wala wao wakiwa vipimo kujitegemea, aliweza kutoa ushahidi wa sheria ya idadi kubwa. Kwa upande wake, wanasayansi Poisson na Laplace, ambaye alifanya kazi katika karne ya kumi na tisa, na uwezo wa kuthibitisha theorem ya awali. Tangu wakati huo kuchambua makosa katika uchunguzi sisi kuanza kutumia nadharia ya uwezekano. Party kote sayansi hii hakuweza na Kirusi wanasayansi, badala Markov, Chebyshev na Dyapunov. Wao ni msingi kazi iliyofanywa na akili maalum mkubwa, kuulinda chini kama tawi la hisabati. Tulifanya kazi takwimu hizi mwishoni mwa karne ya kumi na tisa, na shukrani kwa mchango wao, wamekuwa matukio kuthibitika kama vile:

• sheria ya idadi kubwa;
• Nadharia ya Markov minyororo;
• kati ya kikomo theorem.

Hivyo, historia ya kuzaliwa kwa sayansi na watu maarufu kuu zilizochangia yake, kila kitu ni zaidi au chini ya wazi. Sasa ni wakati wa mwili nje ukweli wote.

dhana ya msingi

Kabla kugusa sheria na theorems lazima kujifunza dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano. Tukio hilo inachukuwa jukumu kubwa. Mada hii ni badala ya kina, lakini si kuwa na uwezo wa kuelewa wengine wote bila hiyo.

Tukio katika nadharia ya uwezekano - ni kuweka yoyote ya matokeo ya majaribio. Dhana ya jambo hili kuna haitoshi. Hivyo, Lotman mwanasayansi kufanya kazi katika eneo hili, ameelezea kwamba katika kesi hii sisi ni kuzungumza juu ya nini "kilichotokea, ingawa inaweza kutokea."

matukio Random (uwezekano nadharia inalipa kipaumbele maalum kwao) - ni dhana ambayo inahusisha kabisa jambo lolote kuwa uwezekano wa kutokea. Au, kinyume chake, hali hii haiwezi kutokea katika utendaji wa aina ya masharti. Pia ni muhimu kujua kwamba kuchukua kiasi mzima wa matukio yanayotokea matukio tu bila mpangilio. Uwezekano nadharia unaonyesha kuwa hali zote inaweza kurudiwa mara kwa mara. Ni mambo yao imekuwa kuitwa "Uzoefu" au "mtihani".

tukio muhimu - hii ni jambo la kawaida kwamba ni asilimia mia moja katika mtihani huu kutokea. Kwa hiyo, tukio haiwezekani - hii ni kitu ambacho si kutokea.

Kuchanganya jozi Action (conventionally kesi A na kesi B) ni jambo ambalo hutokea wakati huo huo. Wao ni inajulikana kama AB.

kiasi cha jozi wa matukio ya A na B - C ni, kwa maneno mengine, kama angalau mmoja wao (A au B), unaweza kupata C. formula walielezea jambo imeandikwa kama C = A + B.

maendeleo haziendani katika nadharia ya uwezekano maana kwamba kesi mbili ni pande kipekee. Wakati huo huo wao ni katika hali yoyote haiwezi kutokea. matukio ya Pamoja katika nadharia ya uwezekano - ni antipode yao. Maana yake ni kwamba kama A kilichotokea, haina kuzuia C.

Kupinga tukio (uwezekano nadharia anaona yao kwa undani), ni rahisi kuelewa. Ni bora ya kukabiliana nao kwa kulinganisha. Wao ni karibu sawa kama kinyume maendeleo katika nadharia ya uwezekano. Hata hivyo, tofauti yao ni kwamba moja ya wingi wa matukio katika hali yoyote lazima kutokea.

Uwezekano sawa matukio - hatua hizo, uwezekano wa marudio ni sawa. Ili iwe wazi, unaweza kufikiria msukosuko sarafu: hasara ya moja ya pande yake ni sawa kinachowezekana hasara nyingine.

ni rahisi kufikiria mfano wa kupendelea tukio hilo. Tuseme kuna sehemu katika kipindi A. kwanza - roll ya kufa na ujio wa idadi isiyo ya kawaida, na ya pili - muonekano wa namba tano katika kete. Kisha ni zamu kuwa A ni Maria V.

matukio Independent katika nadharia ya uwezekano ni makadirio tu mara mbili au zaidi na kuhusisha huru ya hatua yoyote kutoka nyingine. Kwa mfano, A - katika hasara mikia sarafu tossing, na B - dostavanie jack kutoka staha. Wana matukio kujitegemea kwa nadharia ya uwezekano. Kutoka wakati huu ikawa wazi.

matukio tegemezi kwa nadharia ya uwezekano pia ruhusa tu kwa ajili ya kuweka yao. Wao kuashiria utegemezi wa moja kwa upande mwingine, yaani, jambo inaweza kutokea katika tu katika kesi wakati A tayari ilitokea au, kinyume chake, halikutokea wakati ni - hali kuu ya B.

matokeo ya majaribio random yenye sehemu moja - ni matukio ya msingi. Uwezekano nadharia anasema kwamba ni jambo la kwamba ni kufanyika mara moja tu.

formula ya msingi

Hivyo, juu zinazoonekana dhana ya "tukio", "nadharia ya uwezekano", ufafanuzi wa maneno muhimu ya sayansi hili pia husika. Sasa ni wakati wa kuzifahamu yenyewe na kanuni muhimu. maneno haya ni hesabu alithibitisha dhana zote kuu katika somo vile vigumu kama nadharia ya uwezekano. Uwezekano wa tukio na ina jukumu kubwa.

Bora kuanza na fomula ya msingi ya combinatorics. Na kabla ya kuanza nao, ni thamani ya kuzingatia ni nini.

Combinatorics - kimsingi tawi la hisabati, amekuwa kusoma idadi kubwa ya nambari, na permutations mbalimbali ya idadi na mambo yao, data mbalimbali, nk, na kusababisha idadi ya michanganyiko ... Mbali na nadharia ya uwezekano, sekta hii ni muhimu kwa ajili ya takwimu, sayansi ya kompyuta na cryptography.

Hivyo sasa unaweza kuendelea na kuwasilisha wenyewe na ufafanuzi formula yao.

La kwanza ni usemi kwa idadi ya permutations, ni kama ifuatavyo:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Mlinganyo inatumika tu katika kesi kama mambo ni tofauti tu katika utaratibu wa mpango.

Sasa uwekaji formula, inaonekana kama hii yatazingatiwa:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

msemo huu inatumika si tu kwa kipengele tu ya amri ya uwekaji, lakini pia katika utungaji wake.

equation ya tatu ya combinatorics, na ni ya mwisho, aitwaye formula kwa idadi ya mchanganyiko:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Mchanganyiko aitwaye sampuli, ambayo si awali, kwa mtiririko huo, kwa na kutumiwa sheria hii.

Pamoja na fomula ya combinatorics alikuja kuelewa kwa urahisi, unaweza sasa kwenda ufafanuzi classical ya uwezekano. Inaonekana kama msemo huu kama ifuatavyo:

P (A) = m: n.

Katika utaratibu huu, m - ni idadi ya mazingira mazuri kwa tukio A, na n - idadi ya usawa na kabisa matukio yote ya msingi.

Kuna maneno mengi katika makala si kuchukuliwa chochote lakini walioathirika itakuwa ndio muhimu kama vile, kwa mfano, uwezekano wa matukio ni sawa:

P (A + B) = P (A) + P (B) - theorem hii kwa ajili ya kuongeza tu matukio mbadala;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - lakini hii ni tu kwa ajili ya kuongeza sambamba.

uwezekano wa kazi tukio:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - theorem hii kwa ajili ya matukio ya kujitegemea;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - na hii kwa tegemezi.

Kumalizika orodha ya matukio formula. nadharia ya uwezekano inatuambia theorem Bayes, ambayo inaonekana kama hii:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Katika utaratibu huu, H _1, H _2, ..., H _n - ni seti kamili ya nadharia.

Katika kuacha hii, sampuli formula Programu sasa kuchukuliwa kwa ajili ya kazi maalum kutoka mazoezi.

mifano

Kama makini tawi lolote la hisabati, si bila mazoezi na ufumbuzi sampuli. Na nadharia ya uwezekano: matukio, mifano hapa ni sehemu muhimu ya kuthibitisha hesabu za kisayansi.

formula kwa idadi ya permutations

Kwa mfano, katika staha ya kadi na kadi thelathini, kuanzia na moja wa majina. swali ijayo. Jinsi ya njia za mara staha ili kadi na thamani ya uso wa moja na mbili walikuwa iko karibu wengi?

Kazi ni kuweka, sasa hebu kuendelea na kukabiliana nayo. Kwanza unahitaji kuamua idadi ya permutations ya mambo thelathini, kwa lengo hili sisi kuchukua formula hapo juu, zamu P_30 = 30!.

Kulingana na sheria hii, tunajua jinsi njia nyingi kuna kuweka chini ya staha kwa njia nyingi, lakini ni lazima kuwa katwa kutoka kwao ni wale ambao kadi ya kwanza na ya pili itakuwa ya pili. Ili kufanya hivyo, kuanza na lahaja, wakati wa kwanza wa iko juu ya pili. Ni zinageuka kuwa ramani kwanza unaweza kuchukua sehemu ya ishirini na tisa - kutoka kwanza na ishirini na tisa, na kadi ya pili kutoka ya pili ya thelathini, zamu viti ishirini tisa jozi ya kadi. Kwa upande wake, wengine wanaweza kuchukua viti ishirini na nane, na ili yeyote. Hiyo ni, kwa rearrangement ya kadi ishirini na nane na ishirini na nane chaguzi P_28 = 28!

Matokeo yake ni kwamba kama tunaona uamuzi, wakati kadi ya kwanza ni juu ya nafasi ya pili ya ziada ya kupata 29 ⋅ 28! = 29!

Kutumia njia hiyo hiyo, unahitaji kufanya mahesabu idadi ya chaguzi redundant kwa kesi wakati kadi ya kwanza iko chini ya pili. Pia kupatikana 29 ⋅ 28! = 29!

Kutoka hili kwa sababu hiyo chaguzi za ziada 2 ⋅ 29!, Wakati njia muhimu ya kukusanya staha 30! - 2 ⋅ 29!. Bado tu kwa mahesabu.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sasa tunahitaji kuzidisha pamoja wote wa idadi kutoka moja kwa ishirini na tisa, na kisha mwisho wa kila kuzidisha mara 28. jibu kupatikana 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Mifano ya ufumbuzi. formula kwa idadi ya malazi

Katika tatizo hili, unahitaji kujua jinsi wengi kuna njia ya kuweka kiasi cha kumi na tano juu ya rafu, lakini kwa masharti kwamba thelathini tu kiasi.

Katika kazi hii, uamuzi rahisi kidogo kuliko ya awali. Kwa kutumia formula tayari anajulikana, ni muhimu kufanya mahesabu idadi ya maeneo thelathini kumi na tano wingi.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Response, kwa mtiririko huo, itakuwa ni sawa na 202 843 204 931 727 360 000.

Sasa kuchukua kazi zaidi kidogo ngumu. Unahitaji kujua ni wangapi kuna njia za kupanga vitabu thelathini na mbili juu ya rafu, na proviso kwamba kiasi cha kumi na tano tu ndiyo unaweza kuishi kwenye rafu hiyo.

Kabla ya mwanzo wa uamuzi ungependa kufafanua kuwa baadhi ya matatizo yanaweza kutatuliwa kwa njia kadhaa, na katika hili kuna njia mbili, lakini katika wawili moja na formula moja kutumiwa.

Katika kazi hii, unaweza kuchukua jibu kutoka kwa mmoja uliopita, kwa sababu kuna tuna mahesabu ni mara ngapi unaweza kujaza rafu kwa ajili ya vitabu kumi na tano kwa njia tofauti. Ni akageuka A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

kikosi cha pili mahesabu kwa formula mvurugo, kwa sababu kuwekwa vitabu kumi na tano, wakati salio ya kumi na tano. Tunatumia formula P_15 = 15!.

Ni zinageuka kuwa kiasi gani A_30 ^ 15 ⋅ P_15 njia, lakini, katika Aidha, zao la nambari zote 30-16 itakuwa tele na zao la idadi kutoka moja kumi na tano, katika mwisho kugeuka kutoka bidhaa ya namba wote kutoka moja na thelathini, yaani jibu ni 30!

Lakini tatizo hili yanaweza kutatuliwa kwa njia tofauti - rahisi. Ili kufanya hivyo, unaweza kufikiria kuwa kuna rafu moja kwa ajili ya vitabu thelathini. Wote ni kuwekwa kwenye ndege hiyo, lakini kwa sababu ya hali inahitaji kuwa kulikuwa na rafu mbili, moja kwa muda mrefu sisi sawing katika nusu, zamu mbili kumi na tano. Kutokana na hayo ni zamu kuwa kwa utaratibu huu unaweza kuwa P_30 = 30!.

Mifano ya ufumbuzi. formula kwa idadi ya mchanganyiko wa

Nani ni kuchukuliwa lahaja ya tatizo ya tatu ya combinatorics. Unahitaji kujua jinsi njia nyingi kuna kupanga vitabu kumi na tano kwa masharti kwamba ni lazima kuchagua thelathini sawa.

Kwa uamuzi, bila shaka, kutumia formula kwa idadi ya mchanganyiko. Kutoka hali ambayo inakuwa wazi kuwa utaratibu wa vitabu hivyo kumi na tano si muhimu. Hivyo awali unahitaji kujua idadi ya michanganyiko ya thelathini kumi na tano vitabu.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Hayo ni yote. Kwa kutumia utaratibu huu, katika muda mfupi iwezekanavyo ili kutatua tatizo kama hizo, jibu, kwa mtiririko huo, sawa na 155,117,520.

Mifano ya ufumbuzi. ufafanuzi classic cha uwezekano

Kwa kutumia formula hapo juu, mtu anaweza kupata jibu katika kazi rahisi. Lakini itakuwa wazi kuona na kufuata mwendo wa utekelezaji.

Kazi kwa kuwa katika urn kuna kumi mipira kabisa kufanana. Kati ya hizi, nne njano na sita ya bluu. Kuchukuliwa kutoka urn mpira mmoja. Ni muhimu kujua uwezekano dostavaniya bluu.

Ili kutatua tatizo ni muhimu kwa mteule dostavanie bluu mpira tukio A. Uzoefu huu wanaweza kuwa na matokeo kumi, ambayo, kwa upande wake, msingi na uwezekano sawa. Wakati huo huo, sita kati ya kumi ni nzuri kwa tukio A. kutatua formula zifuatazo:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Kutumia formula hii, tumejifunza kwamba uwezekano dostavaniya bluu mpira 0.6.

Mifano ya ufumbuzi. uwezekano wa matukio kiasi

Nani kuwa lahaja ambayo ni kutatuliwa kwa kutumia formula ya uwezekano wa matukio kiasi. Hivyo, kutokana na hali ya kuwa kuna matukio mawili, moja ya kwanza ni kijivu na mipira mitano nyeupe, wakati ya pili - nane kijivu na nne nyeupe mipira. Matokeo yake, masanduku ya kwanza na ya pili na kuchukuliwa juu ya mmoja wao. Ni muhimu kujua nini nafasi ya kuwa walikosa mipira ni kijivu na nyeupe.

Ili kutatua tatizo hili, ni muhimu kutambua tukio hilo.

• Hivyo, - tuna kijivu mpira wa sanduku la kwanza: P (A) = 1/6.
• A '- nyeupe bulb pia kuchukuliwa kutoka sanduku la kwanza: P (A') = 5/6.
• - tayari kuondolewa kijivu mpira wa mfereji pili: P (B) = 2/3.
• B '- alichukua kijivu mpira wa droo ya pili: P (B') = 1/3.

Kwa mujibu wa tatizo ni muhimu kwamba moja ya matukio kutokea: AB 'au' B. Kwa kutumia formula, sisi kupata: P (AB ') = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Sasa formula ya kuzidisha uwezekano ilitumika. Kisha, ili kujua jibu, unahitaji kuomba equation yao kuongeza:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Hivyo ndivyo, kwa kutumia formula, unaweza kutatua matatizo hayo.

matokeo yake

karatasi iliwasilishwa kwa taarifa juu ya "nadharia ya uwezekano", uwezekano wa matukio ambayo jukumu muhimu. Bila shaka, si kila kitu imekuwa kuchukuliwa, lakini kwa misingi ya maandishi iliyotolewa, unaweza kinadharia kujifahamisha na tawi hili la hisabati. Kuchukuliwa sayansi inaweza kuwa muhimu si tu katika biashara ya kitaalamu, lakini pia katika maisha ya kila siku. Unaweza kutumia kufanya mahesabu uwezekano wowote wa tukio hilo.

Nakala pia walioathirika na tarehe muhimu katika historia ya maendeleo ya nadharia ya uwezekano kama sayansi, na majina ya watu ambao vitendo vyao wamekuwa kuweka ndani yake. Hivyo ndivyo binadamu udadisi imesababisha ukweli kwamba watu kujifunza kuhesabu, hata matukio maalum. Mara baada ya wao ni nia tu katika hili, lakini leo ni tayari anajulikana kwa wote. Na hakuna mtu anayeweza kusema nini kitatokea kwetu katika siku za baadaye, nini wengine uvumbuzi kipaji uhusiano na nadharia kwenye mjadala, itakuwa nia. Lakini jambo moja ni kwa uhakika - Utafiti bado si thamani yake!