Mara kwa mara polihedra: mambo ulinganifu na eneo

Jiometri ni nzuri kwa sababu, tofauti algebra, ambayo si mara zote wazi kwa nini na nini unafikiri, inatoa kitu kuona. ulimwengu huu wa ajabu wa madhehebu mbalimbali ya kuyapamba polihedra za kawaida.

Mkuu wa habari juu ya mara kwa mara polihedra

Kwa mujibu wa wengi, polyhedrons mara kwa mara, au kama wao ni kuitwa Platonic yabisi, kumiliki mali ya kipekee. Pamoja na hayo vitu uhusiano nadharia kadhaa ya kisayansi. Unapoanza kujifunza data kijiometri za mwili, kutambua kwamba karibu hawajui chochote kuhusu dhana kama vile polihedra za kawaida. kuwasilisha vitu hivi katika shule ni daima kuvutia, wengi hata kukumbuka kile walivyoitwa. Katika kumbukumbu ya watu wengi ni tu mchemraba. Hakuna hata jiometri mwili haina wamiliki ukamilifu kama vile polyhedrons mara. Majina yote ya maumbo haya kijiometri asili kutoka Ugiriki ya kale. Wao kuwakilisha idadi ya nyuso: tetrahedron - nne upande mmoja, hexahedron - Allen, octahedron - octagons, dodecahedron - dodecahedral, icosahedron - icosahedral. Yote haya mwili geometric inachukuwa nafasi muhimu katika mimba Plato ya ulimwengu. Nne wao ni ilivyo mambo au taasisi: tetrahedron - moto, icosahedron - maji mchemraba - ardhi, octahedron - hewa. Dodecahedron ilivyo mambo yote. Alikuwa kuchukuliwa kuu, kama ishara ya ulimwengu.

generalization ya dhana ya polihedron

Polyhedron ni mkusanyiko finite ya poligoni vile kwamba:

• kila moja ya pande yoyote ya poligoni ni wakati huo huo upande mmoja tu wa poligoni mwingine upande moja;
• kutoka kila moja ya poligoni unaweza kutembea hadi mwingine kwa kupitisha karibu dharura poligoni.

Poligoni ikiwa polihedron kuwakilisha nyuso yake na upande wao - mbavu. polihedra vipeo ni vipeo ya poligoni. Kama mrefu poligoni kuelewa gorofa polylines imefungwa, basi kuja ufafanuzi moja ya polihedroni. Iwapo kwa muda huu ni maana sehemu ya ndege hiyo imepakana kwa mistari kuvunjwa, itakuwa kueleweka uso yenye vipande polygonal. Convex polihedron inaitwa mwili amelazwa upande mmoja wa ndege, karibu na nyuso yake.

Mwingine ufafanuzi wa polihedron na mambo yake

Polyhedron kuitwa uso yenye pembe nyingi, ambayo mipaka mwili geometric. Nazo ni:

• zisizo mbonyeo,
• mbonyeo (mema na mabaya).

Mara kwa mara polihedron - ni mbonyeo polihedron kwa maximal ulinganifu. Elements za polihedra za kawaida:

• Tetrahedron: 6 mbavu 4 nyuso 5 vipeo,
• hexahedron (mchemraba) 12, 6, 8;
• dodecahedron 30, 12, 20;
• octahedron 12, 8, 6;
• icosahedron 30, 20, 12.

theorem Euler

Ni itaanzisha uhusiano kati ya idadi ya kingo, vipeo na nyuso ni topologically sawa na nyanja. Kuongeza idadi ya vipeo na nyuso (B + D) na tofauti polihedra za kawaida na kulinganisha yao na idadi ya mbavu, inawezekana kuweka kanuni moja: Jumla ya idadi ya nyuso sawa na idadi ya vipeo na kingo (P) iliongezeka kwa 2 Inawezekana hupata formula rahisi:

• B + D = P + 2.

formula hii ni halali kwa polihedra kila mbonyeo.

ufafanuzi wa msingi

dhana ya polihedron mara kwa mara ni vigumu kuelezea katika sentensi moja. Ni zaidi ya thamani na kiasi. mwili kutambuliwa kama vile, ni muhimu kwamba inatimiza idadi ya ufafanuzi. Hivyo, mwili geometric itakuwa polihedron mara kwa mara wakati hali hizi ni alikutana:

• ni mbonyeo,
• idadi sawa ya mbavu unakutana katika kila moja ya vipeo yake;
• pande zote za wake - poligoni mara kwa mara, sawa na kila mmoja,
• pembe zote dihedral ni sawa.

Mali za polihedra za kawaida

Kuna 5 aina tofauti ya polihedra kawaida:

1. Cube (hexahedron) - ina gorofa kilele angle 90 °. Ina angle 3 upande mmoja. Kiasi uso pembe katika kilele wa 270 °.
2. Tetrahedron - gorofa kilele angle ya - 60 °. Ina angle 3 upande mmoja. Kiasi uso pembe katika kilele - 180 °.
3. Octahedron - gorofa kilele angle ya - 60 °. Ina angle nne upande mmoja. Kiasi uso pembe katika kilele - 240 °.
4. Dodecahedron - gorofa kilele angle ya 108 °. Ina angle 3 upande mmoja. Kiasi uso pembe katika kilele - 324 °.
5. Icosahedron - ina gorofa kilele angle ya - 60 °. Ina angle tano upande mmoja. Kiasi uso pembe katika kilele wa ° 300.

eneo la polihedra za kawaida

eneo la ukubwa wa miili kijiometri (S) ni mahesabu kama kawaida poligoni eneo kuongezeka kwa idadi ya pande (G):

• S = (: 2) x 2G CTG π / s.

kiasi cha polihedron mara kwa mara

Thamani hii ni mahesabu kwa kuzidisha kiasi cha piramidi kawaida ambao msingi ni poligoni mara kwa mara, idadi ya nyuso, na urefu wake ni Radius andikwa ya mawanda (r):

• V = 1: 3RS.

Kiasi za polihedra za kawaida

Kama yoyote kijiometri imara, polihedra za kawaida na kiasi cha tofauti. Chini ni formula ambayo anaweza mahesabu:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• octahedron: α x 3√2: 3;
• icosahedron; α x 3,
• hexahedron (mchemraba): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements za polihedra za kawaida

Hexahedron na octahedron ni dual miili geometric. Kwa maneno mengine, wanaweza kupata kutoka kwa kila mmoja katika tukio hilo kuwa centroid ya mmoja ni kuchukuliwa kama juu ya nyingine, na kinyume chake. Pia kuna mbili icosahedron na dodecahedron. Mwenyewe tu tetrahedron ni mbili. Kwa mujibu wa utaratibu wa Euclid yanaweza kupatikana kutoka dodecahedron hexahedron kwa kutengeneza "paa" katika sura za mraba. vipeo ya tetrahedron ni yoyote vipeo 4 ya mchemraba, si jozi karibu pamoja makali. Kutoka hexahedron (mchemraba) inaweza kupatikana, na wengine polihedra za kawaida. Licha ya ukweli kwamba pembe nyingi kuna mengi mno, mara kwa mara polihedra, kuna 5 tu.

radii kuhusu pembe nyingi

Na kila moja ya makundi haya kijiometri ambayo umejiunga senta nyanja 3:

• ilivyoelezwa kupitia vipeo,
• andikwa kuhusu kila moja ya pande zake katikati ya yake;
• wastani kuhusu kingo zote katika kati.

Radius ya nyanja ilivyoelezwa na formula yafuatayo ni mahesabu:

• R =: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Radius ya nyanja andikwa ni mahesabu kama ifuatavyo:

• R =: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

ambapo θ - dihedral angle ambayo ni kati ya pande karibu.

Radius wastani wa nyanja inaweza kuwa mahesabu kwa kutumia formula zifuatazo:

• ρ = cos π / p: 2 dhambi π / h,

ambapo h = ukubwa wa 4.6, 6.10, au 10. uwiano wa radii ya andikwa ilivyoelezwa na symmetrically kuhusiana na p na q. Ni mahesabu kama ifuatavyo:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

ulinganifu wa polihedra

ulinganifu wa polihedra za kawaida ni ya manufaa makubwa kwa mashirika hayo ya kijiometri. Ni kuelewa kama harakati za mwili katika nafasi, ambayo majani idadi sawa ya vipeo, nyuso na edges. Kwa maneno mengine, chini ya ushawishi wa ulinganifu mabadiliko makali, kipeo, au uso anakuwa na nafasi yake ya awali, au hatua ya nyumbani nafasi ya ubavu mwingine, vipeo nyingine au nyuso.

Vipengele vya ulinganifu wa polihedra za kawaida ni ya kawaida katika aina zote za yabisi kijiometri. Hapa ni uliofanywa juu ya mabadiliko ya utambulisho, ambayo majani yoyote ya pointi katika nafasi ya awali. Kwa hiyo, wakati kurejea mche polygonal unaweza kupata baadhi ya symmetries. Yeyote kati yao inaweza kuwakilishwa kama bidhaa tafakari. Ulinganifu, ambao ni zao la hata idadi ya tafakari, aitwaye moja kwa moja. Kama ni zao la isiyo ya kawaida idadi ya tafakari, basi inaitwa maoni. Hivyo, zamu duniani line kuwakilisha moja kwa moja ulinganifu. Yoyote tafakari polihedron - ni kinyume ulinganifu.

Ili kuelewa vizuri mambo ulinganifu wa polihedra za kawaida, unaweza kuchukua mfano wa tetrahedron. line yoyote ambayo kupita katika moja ya vipeo na katikati ya sura ya kijiometri, utafanyika, na kwa njia ya katikati ya makali kinyume na hivyo. Kila moja ya zamu 120 na 240 ° kuzunguka mstari ni ya wingi la pembe nne ulinganifu. Tangu 4 vipeo na nyuso, sisi kupata jumla ya nane symmetries moja kwa moja. Yoyote ya mistari ya kupita kwa njia ya katikati ya kingo na katikati ya mwili, itapita katika katikati ya makali kinyume. mzunguko yoyote ya 180 °, aitwaye nusu upande na ulinganifu moja kwa moja. Tangu tetrahedron ina jozi tatu za mbavu, unaweza kupata mistari mitatu ya ulinganifu. Kulingana na hapo juu, tunaweza kusema kwamba idadi ya ulinganifu wa moja kwa moja, na ikiwa ni pamoja na mabadiliko ya utambulisho, itakuwa juu ya kumi na mbili. Nyingine ya moja kwa moja ulinganifu tetrahedron haipo, lakini ina 12 kinyume ulinganifu. Kwa hiyo, 24 tu sifa ya tetrahedron symmetries. Kwa ufafanuzi, tunaweza kujenga mfano wa tetrahedron mara kwa mara alifanya ya mbao na kuhakikisha kuwa ni mwili geometric kweli ina 24 tu ulinganifu.

Dodecahedron na icosahedron - karibu na eneo la mwili. Icosahedron ina idadi kubwa ya nyuso, angle dihedral na zaidi ya yote unaweza tightly kushikamana nyanja andikwa. Dodecahedron ina chini angular kasoro kubwa imara angle katika kipeo. Ni inaweza kuongeza kujaza katika nyanja circumscribed.

skanning polihedra

Mara kwa mara polihedra Scan, ambayo sisi wote kukwama pamoja utotoni, mengi ya dhana. Kama kuna seti ya pembe nyingi, kila upande wa ambayo ni kutambuliwa na upande mmoja tu wa polihedron, utambuzi wa vyama lazima kuzingatia hali mbili:

• wa kila poligoni, unaweza kwenda kwa poligoni kuwa utambuzi wa upande;
• zinazotambulika upande wanapaswa kuwa na urefu sawa.

Ni seti ya poligoni ili kukidhi masharti haya, na inaitwa polihedron Scan. Kila moja ya miili hizi ina kadhaa yao. Kwa mfano, mchemraba ambazo ni vipande 11.