Maendeleo ya kijiometri na tabia yake ya

maendeleo ya kijiometri ni muhimu katika hisabati kama sayansi, na kutumiwa umuhimu, kwani ina wigo mpana sana, hata katika hisabati ya juu, kwa mfano, katika nadharia ya mfululizo. habari kwanza juu ya maendeleo alikuja kwetu kutoka Misri ya kale, hasa katika mfumo wa tatizo maalumu ya Rhind mafunjo watu saba pamoja na paka saba. Tofauti ya kazi hii walikuwa mara kwa mara mara nyingi kwa nyakati tofauti na mataifa mengine. Hata Velikiy Leonardo Pizansky, unaojulikana kama Fibonacci (XIII c.), Alizungumza na yake katika wake "Kitabu cha Abacus."

Ili maendeleo ya kijiometri ina historia ya kale. Inawakilisha mlolongo namba na nonzero mwanachama wa kwanza, na kila baadae, kuanzia na wa pili imedhamiria kwa kuzidisha uliopita kujirudia formula katika daima, nonzero idadi hiyo inaitwa denominator maendeleo (kwa kawaida uliopangwa kwa kutumia barua q).
Ni wazi, inaweza kupatikana kwa kugawa kila mrefu baadae mfululizo wa mpangilio wa awali, yaani z 2: z 1 = ... = zn: z n-1 = .... Kwa hiyo, kwa kazi maendeleo zaidi (zn) ya kutosha kwamba anajua thamani ya neno la kwanza la denominator na y 1 q.

Kwa mfano, hebu z 1 = 7, q = - 4 (q <0), basi zifuatazo geometric maendeleo hupatikana 7 - 28, 112 - 448, .... Kama unavyoona, mfuatano kusababisha si monotone.

Kumbuka kwamba mlolongo holela wa monotonous (kuongeza / kupunguza) wakati moja ya wanachama wake kufuata zaidi / chini ya moja ya awali. Kwa mfano, mfuatano 2, 5, 9, ..., na -10, -100, -1000, ... - Monotone, pili moja - kupungua geometric maendeleo.

Iwapo q = 1 na wanachama wote ni kupatikana kwa kuwa, na ni wito maendeleo mara kwa mara.

mlolongo mara maendeleo ya aina hii, ni lazima kukidhi zifuatazo hali muhimu na ya kutosha, yaani: kuanzia pili, ambapo kila wanachama wake lazima wastani geometric ya wanachama jirani.

Mali hii inaruhusu chini ya baadhi ya mbili karibu kutafuta holela mrefu maendeleo.

n-th mrefu kipeo kupatikana kwa urahisi na formula: zn = z 1 * q ^ (n-1), z kujua kwanza mwanachama 1 na denominator q.

Kwa kuwa idadi mlolongo ina kiasi, basi hesabu chache rahisi kutupa formula kufanya mahesabu ya jumla ya maendeleo ya kwanza ya wanachama, yaani:

S n = - (zn * q - z 1) / (1 - q).

Kuchukua nafasi ya mbinu zake za thamani kujieleza zn z 1 * q ^ (n-1) ili kupata formula pili kutokana maendeleo kiasi: S n = - Z1 * (q ^ n - ya 1) / (1 - q).

Anastahili mawazo yafuatayo kuvutia ukweli: kibao udongo hupatikana katika excavations wa Babeli ya kale, ambayo inahusu VI. BC inashangaza ina jumla ya 2 + 1 + 22 + ... + 29 sawa na 2 kwa nguvu ya kumi minus 1. maelezo ya jambo hili bado kupatikana.

Tunaona moja ya mali ya maendeleo ya kijiometri - kazi mara kwa mara ya wanachama wake, spaced katika umbali sawa kutoka mbali mlolongo.

Muhimu kabisa kutoka hatua ya kisayansi ya maoni, kitu kama usio kijiometri maendeleo na kuhesabu kiasi yake. Kwa kuchukulia kwamba (yn) - maendeleo ya kijiometri kuwa denominator q, kutosheleza hali | q | <1, kiasi yake itakuwa inajulikana kikomo kwa ambayo sisi tayari kujua kiasi ya wanachama wake wa kwanza, na usio na kikomo ongezeko la n, kisha kuwa katika hilo inakaribia isiyo na kikomo.

Kupata kiasi hiki kutokana na kutumia formula:

S n = y 1 / (1- q).

Na, kama uzoefu unaonyesha, kwa unyenyekevu dhahiri ya maendeleo hii ni siri kubwa ya maombi uwezo. Kwa mfano, kama sisi kujenga mlolongo wa mraba kulingana na algorithm zifuatazo, kuunganisha midpoints ya mmoja uliopita, basi kuunda mraba usio kijiometri maendeleo kuwa denominator 1/2. huo maendeleo fomu na eneo la pembetatu, kupatikana katika kila hatua ya ujenzi, na kiasi yake ni sawa na eneo la mraba ya awali.